Showing posts with label Matematika. Show all posts
Showing posts with label Matematika. Show all posts

Saturday, June 2, 2012

Misteri dan Keajaiban Angkal 0 (Nol)


Ternyata angka atau bilangan dengan menggunakan bahasa Indonesia memiliki struktur atau pola yang unik dan mungkin tidak akan ditemukan di bangsa lain. Hanya di Indonesia.

Setiap bangsa, negara dan daerah pasti memiliki penyebutan sendiri untuk angka-angka dari satu, dua sampai dengan sepuluh. Misalnya angka tiga kita menyebutnya di Indonesia tapi di negara lain ada yang menyebutnya tri, three, san, tolu dan lain sebagainya.

Bahkan bila ada yang masih ingat angka-angka tersebut dalam bahasa daerah teman-teman masing-masing dari satu sampai sepuluh maka kadang ada angka yang penyebutannya sama dan ada pula yang berbeda dengan Bahasa Indonesia. Mungkin tergantung dari enaknya di lidah atau di telinga.

Langsung saja. Di sini saya bukan mengajarkan Anda berhitung tapi coba perhatikan deretan angka-angka di bawah ini.

1 = Satu
2 = Dua
3 = Tiga
4 = Empat
5 = Lima
6 = Enam
7 = Tujuh
8 = Delapan
9 = Sembilan


Ternyata setiap bilangan mempunyai saudara ditandai dengan huruf awal yang sama. Bila kedua saudara ini dijumlahkan angkanya, maka hasilnya pasti sepuluh. Contohnya Satu dan Sembilan. Mempunyai huruf awal yaitu S dan bila djiumlahkan satu dan sembilan hasilnya adalah sepuluh.

Begitu juga dengan Dua dan Delapan, Tiga dan Tujuh kemudian Empat dan Enam. Terurut sampai dengan angka Lima. Lima dijumlah dengan dirinya sendiri juga hasilnya sepuluh.

Tidak sampai di situ, ternyata huruf awalnya juga punya peranan penting terbentuknya bilangan itu. Misalnya Satu dan Sembilan sama-sama huruf awalnya adalah S yang secara kebetulan berada pada urutan 19 dalam alpabet. Bila angka satu dan sembilan dijumlahkan kemudian dibagi dua untuk mencari rata-ratanya maka hasilnya adalah 5. Bentuk angka 5 sangat identik dengan huruf S. Yang pernah membaca Matematika Alam Semesta, perlu ditambahkan bahwa 19 adalah angka TUHAN.

Kemudian Dua dan Delapan. Huruf awalnya adalah D yang urutan keempat. Bila delapan dibagi dua maka hasilnya adalah empat (pembenaran).

Selanjutnya Empat dan Enam. Huruf awalnya adalah E yang urutan kelima. Lima berada diantara Empat dan Enam (pembenaran lagi).

Sedangkan angka Lima huruf awalnya adalah L. Dimana L digunakan untuk simbol angka lima puluh dalam perhitungan Romawi (pembenaran yang masih nyambung).

Lalu bagaimana dengan Tiga dan Tujuh? Ternyata susah cari pembenarannya. Ditambah, dikurang, dibagi dan dikali ternyata belum juga ketemu. Tiga dikali tujuh hasilnya 21, kurang satu angka dengan huruf T yang urutan ke 20. Tapi simbol V digunakan untuk menunjukkan angka tujuh dalam perhitungan Arabic. Dan V diurutan ke-22.

Ternyata, tidak pakai matematika. Cukup ditulis saja di kertas kosong kemudian pasti bisa ketemu hubungannya. Coba tulis huruf T kecil (t) di sebuah kertas. Kemudian putar kertasnya 180 derajat maka kamu bisa lihat angka tujuh dengan jelas. Lalu bagaimana dengan angka tiga? Juga sama. Tulis huruf T besar di kertas pakai font Times New Roman kemudian putar 90 derajat ke kanan searah jarum jam. Tada…. Kamu pasti bisa lihat angka tiga dengan jelas. Tapi sedikit mancung. (pembenaran yang juga dipaksakan sekali).

Pola unik ini mungkin hanya bisa ditemukan di Indonesia. Lalu bagaimana dengan di Malaysia yang juga memakai bahasa yang sama? Ternyata di Malaysia angka 8 tidak disebut sebagai Delapan tapi Lapan. Jadi pola ini hanya milik Indonesia. Jangan sampai diklaim juga sama mereka.

by:fikrin
Sumber:forumsains.com

Keajaiban Angka Kita 1-10


Ternyata angka atau bilangan dengan menggunakan bahasa Indonesia memiliki struktur atau pola yang unik dan mungkin tidak akan ditemukan di bangsa lain. Hanya di Indonesia.

Setiap bangsa, negara dan daerah pasti memiliki penyebutan sendiri untuk angka-angka dari satu, dua sampai dengan sepuluh. Misalnya angka tiga kita menyebutnya di Indonesia tapi di negara lain ada yang menyebutnya tri, three, san, tolu dan lain sebagainya.

Bahkan bila ada yang masih ingat angka-angka tersebut dalam bahasa daerah teman-teman masing-masing dari satu sampai sepuluh maka kadang ada angka yang penyebutannya sama dan ada pula yang berbeda dengan Bahasa Indonesia. Mungkin tergantung dari enaknya di lidah atau di telinga.

Langsung saja. Di sini saya bukan mengajarkan Anda berhitung tapi coba perhatikan deretan angka-angka di bawah ini.

1 = Satu
2 = Dua
3 = Tiga
4 = Empat
5 = Lima
6 = Enam
7 = Tujuh
8 = Delapan
9 = Sembilan


Ternyata setiap bilangan mempunyai saudara ditandai dengan huruf awal yang sama. Bila kedua saudara ini dijumlahkan angkanya, maka hasilnya pasti sepuluh. Contohnya Satu dan Sembilan. Mempunyai huruf awal yaitu S dan bila djiumlahkan satu dan sembilan hasilnya adalah sepuluh.

Begitu juga dengan Dua dan Delapan, Tiga dan Tujuh kemudian Empat dan Enam. Terurut sampai dengan angka Lima. Lima dijumlah dengan dirinya sendiri juga hasilnya sepuluh.

Tidak sampai di situ, ternyata huruf awalnya juga punya peranan penting terbentuknya bilangan itu. Misalnya Satu dan Sembilan sama-sama huruf awalnya adalah S yang secara kebetulan berada pada urutan 19 dalam alpabet. Bila angka satu dan sembilan dijumlahkan kemudian dibagi dua untuk mencari rata-ratanya maka hasilnya adalah 5. Bentuk angka 5 sangat identik dengan huruf S. Yang pernah membaca Matematika Alam Semesta, perlu ditambahkan bahwa 19 adalah angka TUHAN.

Kemudian Dua dan Delapan. Huruf awalnya adalah D yang urutan keempat. Bila delapan dibagi dua maka hasilnya adalah empat (pembenaran).

Selanjutnya Empat dan Enam. Huruf awalnya adalah E yang urutan kelima. Lima berada diantara Empat dan Enam (pembenaran lagi).

Sedangkan angka Lima huruf awalnya adalah L. Dimana L digunakan untuk simbol angka lima puluh dalam perhitungan Romawi (pembenaran yang masih nyambung).

Lalu bagaimana dengan Tiga dan Tujuh? Ternyata susah cari pembenarannya. Ditambah, dikurang, dibagi dan dikali ternyata belum juga ketemu. Tiga dikali tujuh hasilnya 21, kurang satu angka dengan huruf T yang urutan ke 20. Tapi simbol V digunakan untuk menunjukkan angka tujuh dalam perhitungan Arabic. Dan V diurutan ke-22.

Ternyata, tidak pakai matematika. Cukup ditulis saja di kertas kosong kemudian pasti bisa ketemu hubungannya. Coba tulis huruf T kecil (t) di sebuah kertas. Kemudian putar kertasnya 180 derajat maka kamu bisa lihat angka tujuh dengan jelas. Lalu bagaimana dengan angka tiga? Juga sama. Tulis huruf T besar di kertas pakai font Times New Roman kemudian putar 90 derajat ke kanan searah jarum jam. Tada…. Kamu pasti bisa lihat angka tiga dengan jelas. Tapi sedikit mancung. (pembenaran yang juga dipaksakan sekali).

Pola unik ini mungkin hanya bisa ditemukan di Indonesia. Lalu bagaimana dengan di Malaysia yang juga memakai bahasa yang sama? Ternyata di Malaysia angka 8 tidak disebut sebagai Delapan tapi Lapan. Jadi pola ini hanya milik Indonesia. Jangan sampai diklaim juga sama mereka.

by:fikrin
Sumber:forumsains.com

Wednesday, May 30, 2012

Sejarah Singkat Teorema Pythagoras


 
"Teorema Pythagoras" dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teorema ini. Akan tetapi, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segi tiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya.


Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, di mana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar. Teorema ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides di antara tiga sisi dari segi tiga siku-siku. Hal ini menyatakan bahwa 'Jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusa-nya'.

Secara matematis, teorema ini biasanya biasanya ditulis sebagai : a2 + b2 = c2 , di mana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusanya (sisi miring).

Sejarah

Sejarah dari Teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai berikut:
1. pengetahuan dari Triple Pythagoras,
2. hubungan antara sisi-sisi dari segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang berdekatan, 3. bukti dari teorema. 

Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden meng-hipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790 - 1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.

Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan "Gougu Theorem" (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan 5. Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai 'theorem Gougu', dan di India dinamakan "Bhaskara theorem".

Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.


By : Daniel Ari Wardana
Referensi : buzzle.com

Ahli Matematika Jerman Akan Pecahkan Teka Teki "3n+1"


Teka teki matematika yang belum ditemukan jawabannya selama 74 tahun sebentar lagi mungkin akan terpecahkan. Adalah matematikawan dari Universitas Hamburg, Gerhard Opfer, yang mengklaim telah menemukan solusinya.

Teka teki matematika itu yang bernama Collatz Conjecture atau "3n+1" itu diajukan oleh Lothar Collatz pada tahun 1937. Teka teki itu melibatkan operasi bilangan bulat yang dilambangkan "n".
Singkatnya, ada dua syarat yang berlaku dalam Collatz Conjecture. Jika bilangan bulat (n) adalah bilangan genap, maka dibagi dua (n/2) dan jika ganjil maka dikalikan 3 kemudian ditambah 1 (3n+1).


Ilustrasi

Nah, dalam Collatz Conjecture diungkapkan, jika operasi terus dilakukan berulang kali, berapa pun angka yang dipilih untuk memulainya akan selalu didapatkan angka 1 sebagai hasilnya. Verifikasi telah dilakukan hingga angka 5,76 x 10 (18). Namun, tanpa pembuktian matematis yang tepat, selalu ada kemungkinan bahwa angka yang sangat besar akan melenceng dari "hukum" ini. Pembuktian matematis inilah yang telah dimiliki oleh Opfer. Ia menuliskannya dalam paper yang kini telah masuk ke jurnal Mathematics of Computation untuk ditinjau ulang sebab bisa saja pembuktiannya tak tepat.

Nah, apakah puzzle matematika ini nantinya akan benar-benar terselesaikan? Kita tunggu saja. Sementara menunggu, mungkin Anda bisa mencoba mengoperasikan angka berdasarkan Collatz Conjecture.

Coba ambil angka 6. Karena 6 genap, maka dibagi 2, hasilnya 3. Nah, 3 adalah bilangan ganjil, maka dikali 3 dan ditambah 1, hasilnya 10. Lalu, 10 dibagi 2 karena bilangan genap, hasilnya 5. Kemudian, 5 dikali 3 dan ditambah 1, hasilnya 16. Angka 16 dibagi 2, hasilnya 8. Kemudian 8 dibagi 2 hasilnya 4 dan 4 dibagi 2 lagi hasilnya 2. Angka 2 adalah bilangan genap, maka dibagi 2 lagi dan hasilnya 1. Nah, jika diurutkan, maka deretannya adalah 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Untuk angka 6, berarti terbukti kebenarannya. Anda bisa mencobanya dengan mengambil angka lain. Mau lebih menantang, ambil angka yang besar.

Sumber:adipedia.com

Apa itu Ilmu Algoritma ?


Algoritma, Algoritme, atau Algorithms adalah ilmu yang “berisi” kumpulan perintah untuk segera menyelesaikan suatu masalah.

Perintah yang dimaksud biasanya berkenaan dengan apapun. Perintah tersebut harus bisa diterjemahkan dari awal hingga akhir secara sistematis atau bertahap. Semua perintah dapat diselesaikan dengan rumus Algoritma asalkan perintah tersebut memenuhi kriteria kondisi awal.

Ketika suatu perintah atau permasalahan tersebut sudah memenuhi kriteria persyaratan, maka perintah atau permasalahan tersebut akan dapat terselesaikan menggunakan rumus atau ilmu Algoritma. Dalam memecahkan permasalahan, Algoritma mengeluarkan atau memiliki rangkaian langkah yang kadang diulang atau disebut iterasi dan memerlukan perbandingan hingga “teka-teki” itu terselesaikan.
Algoritma dan Proses Komputerisasi

Selain dengan Matematika, Algoritma juga sering dikaitkan dengan komputerisasi. Desain dan analisis Algoritma merupakan cabang dari ilmu komputerisasi. Desain itu berguna untuk mengetahui karakteristik dan sejauh mana kemampuan Algoritma dalam menyelesaikan masalah. Dalam ilmu komputer, Algoritma dipelajari secara abstrak tanpa melihat sistem komputer dan bahasa pemrograman yang digunakan.

Takaran kerumitan dari Algoritma adalah gambaran seberapa banyak komputasi yang dibutuhkan oleh Algoritma. Semakin rumit permasalahan yang dihadapi, waktu yang dibutuhkan Algoritma untuk menyelesaikan suatu masalah menajdi semakin lama. Begitu juga sebaliknya. Dalam setiap penyelesaian suatu masalah, proses yang dimiliki Algoritma adalah perhitungan, pengolahan data dan penalaran otomatis.

Algoritma memang bisa diterapkan pada perhitungan apapun. Namun, Algoritma berubah menjadi penting ketika berkaitan dengan cara atau proses komputerisasi. Program yang terdapat dalam komputer berisi Algoritma. Algoritma tersebut menentukan instruksi khusus pada komputer untuk melakukan serta melaksanakan tugas tertentu sesuai urutan.

Dalam proses pengolahan data, Algoritma berkaitan dengan pengolahan informasi. Data yang dibaca oleh Algoritma masuk melalui sumbernya atau yang disebut input, kemudian ditulis ke perangkat output untuk kemudian diproses lebih lanjut. Data yang telah disimpan dianggap sebagai bagian dari keadaan internal entitas yang berperan menjalankan Algoritma.

Dalam beberapa proses komputasi, Algoritma memberlakukannya secara ketat. Setiap data yang masuk harus memenuhi syarat dan ditangani secara sistematis, kriteria juga harus jelas. Hal ini dilakukan karena sudah sesuai dengan syarat dan kriteria awal dari Algoritma itu sendiri.

Langkah-langkah ketat seperti ini adalah langkah tepat dalam Algoritma. Perhitungan secara tepat menjadi prioritas. Instruksi yang diberikan Algoritma ini tergambar secara eksplisit atau tersirat. Hasilnya, atau output akan teratur berurutan seperti dari atas ke bawah atau sebaliknya.
Sejarah dan Jenis Algoritma

Istilah Algoritma berasal dari perubahan nama seorang ahli Matematika dari Uzbekistan bernama Al Khawārizmi ke dalam bahasa Latin. Ahli Matematika itu hidup sekitar abad ke 9. Istilah ini terdapat dalam karyanya yang telah diterjemahkan dalam bahasa Latin yang berasal dari abad 12. Dalam karyanya tertulis “Algorithmi de Numero Indorum”.

Awalnya, istilah Algoritma atau algorisma digunakan hanya untuk aturan aritmatis yang berfungsi untuk menyelesaikan persoalan yang menggunakan bilangan dalam bahasa Arab. Baru pada abad 18, Algoritma resmi digunakan untuk mencakup semua permasalahan.

Perkembangan di dunia Algoritma menghadirkan jenis-jenis klasifikasi Algortima. Klasifikasi ini memiliki alasan serta pembenaran yang berbeda. Pendapat yang berbeda melahirkan metode yang juga berbeda.
Divide and Conquer. Pendapat ini mengatakan bahwa suatu permasalahan yang besar dapat dibagi menjadi permasalahan-permasalahan kecil dalam jumlah banyak. Pembagian terus dilakukan hingga mencapai bentuk terkecil hingga menjadi mudah untuk dipecahkan.
Dynamic Programming. Pendapat ini hampir sama dengan pendapat yang pertama. Perbedaannya terletak pada karekter permasalahan yang harus dihadapi. Masalah yang dianggap tumpang tindih dan harus dipisahkan.
Metode Serakah. Pendapat atau paradigma ini serupa dengan pemrograman dinamik. Perbedaannya terdapat pada jawaban yang berasal dari masalah dianggap tidak perlu diketahui. Pilihan kata “serakah” menjadi kata yang sering digunakan ketika pilihan terbaik dipilih.

Sumber:adipedia.com

Mengenal Macam-macam Bilangan dan Sifatnya


A. Macam-macam bilangan

1. Bilangan bulat
Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan nol, bilangan positif, dan bilangan
negatife, contohnya: -3, -2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3…. Dst

2. Bilangan asli
Bilangan asli merupakan suatu bilangan bulat positif yamg harus diawali dari angka1 (satu) hingga
tak terhingga, contohnya: 1, 2, 3, 4, 5…. Dst

3. Bilangan cacah
Bilangan cacah merupakan suatu bilangan bulat positif yang harus diawali dari angka 0 (nol)
hingga tak terhingga, contohnya: 0, 1, 2, 3, 4, 5…. Dst

4. Bilangan Prima
Bilangan prima merupakan suatu bilangan yang tepat punya 2 faktor, yaitu bilangan 1 (satu) dan
dengan bilangan itu sendiri, contohnya: 2, 3, 5, 7, 11, 13…. Dst

5. Bilangan Komposit
Bilangan komposit merupakan bilangan yang bukan 0 (nol), juga bukan 1, dan bukan juga bilangan
Prima, contohnya: 4, 6, 8, 9 , 10, 12, 14…. Dst

6. Bilangan Rasional
Bilangan Rasional merrupakan suatu bilangan yang dapat dinyatkan sebagai suatu pembagian
antara 2 bilangan bulat, contonya: ½, 2/3, ¾…. Dst

7. Bilangan Irrasional
Bilangan Irrasional merupakan bilangan yang nggak bisa dinyatkan sebagai pembagi dua bilangan
bulat, contohnya: √3, log 7….. Dst

8. Bilangan  rill atau biasa disebut dengan bilangan nyata
Bilangan rill merupakan bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan
Irrasional, contohnya: ½ √2, 1/3 √5, 2/3 log 2, dan seterusnya.

9. Bilangan Imajiner atau bilangan khayal
Bilangan imajiner merupakan bilangan yang ditandai dengan huruf i, Bilangan imajiner dengan
huruf i dapat dinyatakan sebagai √-1. Jadi apabila i = √-1 maka i2 = -1
contonya: √-8    = …. ?
√-8 = √8 x (-1) = √8 x √-1 = 4 x i  = 2 i

10. Bilangan kompleks
bilangan kompleks merupakan suatu bilangan yangv merupakan penggabungan dari suatu
bilangan rill dan bilangan imajiner
contohnya: Log √-1 = log i

B.  Sifat-sifat operasi dalam bilangan

1. Sifat komutatif atau sifat pertukaran
a + b = b + a atau a x b = b x a

2. Sifat asosiatif atau sifat pengelompokan
(a + b) + c = a + (b + c)
(p xq) x r = p x (q x r)

3. Sifat distributife atau sifat penyebaran
- Perkalian yang terjadi terhadap penjumlahan
( p + q) x r = (p x r) + (q x r)
- Perkalian yang terjadi terhadap pengurangan
( a - b) x c = (a x c) - (b x c)
- Pembagian yang terjadi terhadap penjumlahan
( p + b)/r= p/r + q/r
- Pembagian yang terjadi terhadap pengurangan
( a - b)/c = a/c - b/c

C. Pangkat atau eksponen

1. Pangkat bilangan bulat yang positif
Bentuk umum: An A = Bilangan pokok          n = pangkat atau eksponen
Sifat pada pangkat bilangan bulat yang positif:
1. Am x An = Am + n
Contoh:  62 x 64 = 62+4 = 66
2. Am/An = Am - n
Contoh: 49/46 = 49-6 43
3. (P x Q)n = Pn x Qn
Contoh: (5 x 2)2 = 52 x 22
4. (P/Q)2 = P2/Q2
Contoh: ( 3/5)4 =  32

2. Pangkat bilangan bulat yang negative dan nol
1. P-n = 1/Pn
Contoh: 6-3 = 1/63 = 1/216
2. A0 = 1                  syarat A ≠ 0
Contoh: 60 = 1
3. Pangkat pecahan
1.  A1/n = n√A
Contoh: 51/3 = 3√5
2.  Am/n = n√Am
Contoh: 52/4 = 4√52

sumber:adipedia.com

Ciri-ciri Bilangan yang Habis Dibagi

Dalam pembagian kadang kita bingung apakah bilangan tersebut bisa dibagi atau tidak, apa lagi jika bilangan tersebut mencapai digit ratusan atau ribuan. Nah disini saya akan sedikit berbagi kepada teman-teman. Tidak perlu menggunakan kalkulator dan lebih mempersingkat waktu.

BILANGAN HABIS DIBAGI 2
Suatu bilangan habis dibagi 2, ciri-cirinya adalah bilangan yang berakhiran (berangka satuan) 0, 2, 4, 6, 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap.

Contoh: apakah 74 habis dibagi 2? Karena 74 merupakan bilangan genap (Ingat rumus untuk bilangan genap. Rumus untuk bilangan genap adalah 2k untuk sebarang k bilangan bulat. Sedangkan untuk bilangan ganjil yaitu 2k-1 untuk sebarang k bilangan bulat). Karena 74 memenuhi rumus bilangan genap, maka 74 habis dibagi 2. 74 : 2 = 37


BILANGAN HABIS DIBAGI 3
Jika jumlah angka penyusun bilangan tersebut habis dibagi 3. (Jumlah digit-digitnya habis dibagi 3)
Contoh: Apakah 213 habis dibagi 3? Akan kita jumlahkan digit-digit pada bilangan 213. Didapatkan, 2 + 1 + 3 = 6. Karena 6 (hasil dari penjumlahan digit-digitnya) habis dibagi 3. Maka bilangan itu (213) habis dibagi 3. Apakah -345 habis dibagi 3? Langkahnya sama. Kita jumlahkan digit-digitnya dan menghiraukan tanda negative. Jangan tertipu oleh tanda negatif.


BILANGAN HABIS DIBAGI 4
Dua digit terakhir habis dibagi 4. Lebih mudahnya yaitu puluhan dari bilangan itu habis dibagi 4.
Contoh: Apakah 324 habis dibagi 4? Dua digit terakhir yaitu 24. Dan 24 habis dibagi 4. Sehingga 326 habis dibagi 4. Apakah 2006 habis dibagi 4? Tidak. Karena dua angka terahirnya yaitu 06. Sedangkan 06 tidak habis dibagi 4. Sehingga 2006 tidak habis dibagi 4.


BILANGAN HABIS DIBAGI 5
Bilangan tersebut berakhiran 0 atau 5.
Contoh: Apakah 3255 habis dibagi 5? Digit terakhir adalah 5. Sehingga 3255 habis dibagi 5. Apakah 2005 habis dibagi 5? Sangatlah mudah menentukan ciri bilangan habis dibagi 5


BILANGAN HABIS DI BAGI 6
Ciri Bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan genap yang jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Atau bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2.
Contoh: apakah 234 habis dibagi 6? Sekarang kita perhatikan jumlah angka-angkanya. 2 + 3 + 4 = 9. Dan 9 habis dibagi 3. Karena jumlah angka-angkanya habis dibagi 3 dan bilangan itu genap. 
Maka 234 habis dibagi 6.


BILANGAN HABIS DI BAGI 7
Bila bagian satuannya dikalikan 2, dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7,
maka bilangan itu habis dibagi 7.

Contoh: apakah 5236 habis dibagi 7? Kita pisahkan 6 (satuannya), kemudian 523 – (6 x 2) = 511. Apakah 511 habis dibagi 7? 51 – (1 x 2) = 49. Karena 49 habis dibagi 7
maka 5236 habis dibagi 7.


BILANGAN HABIS DI BAGI 8
Tiga digit terakhir habis dibagi 8.
Contoh: apakah 3216 habis dibagi 8? Tiga digit terakhir yaitu 216. Dan 216 habis dibagi 8. Sehingga 3216 habis dibagi 8. Bagaimana dengan 56? Tidak jadi masalah karena 56 = 056. 
Sehingga tiga digit terakhirnya yaitu 056. dan 56 habis dibagi 8.
Sehingga 56 habis dibagi 8.


BILANGAN HABIS DI BAGI 9
Jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.
Contoh: apakah 819 habis dibagi 9? Jumlah digit-digitnya yaitu 8 + 1 + 9 = 18. Dan 18 habis dibagi 9.
Sehingga 819 habis dibagi 9.


BILANGAN HABIS DI BAGI 10
Angka satuannya adalah 0.
Contoh: apakah 8190 habis dibagi 10? Angka satuan=0, maka 8190 habis dibagi 10.


BILANGAN YANG HABIS DI BAGI 11
Bilangan yang habis dibagi 11 yaitu jika bilangan tersebut merupakan kelipatan 11. Ciri bilangan habis dibagi 11 yaitu jika jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi 11.

contohnya:
#Apakah 1234 habis dibagi 11?
Maka yang kita lakukan adalah menjumlahkan dengan tanda berselang seling dari digit satuan. Tanda dimulai dari positif. Maka mengechecknya 4 – 3 + 2 – 1 = 2. Karena 2 tidak habis dibagi 11, maka 1234 juga tidak habis dibagi 11.

#Apakah 803 habis dibagi 11?
3 – 0 + 8 = 11. Maka 803 habis dibagi 11.



BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 13
Ciri bilangan habis dibagi 13 adalah bilangan asal dipisahkan satuannya. Kemudian dikalikan 9 (multiplier dari 13). Dan bilangan yang setelah dipisahkan tadi dikurangi dengan 9 kali bilangan satuannya.
Misalnya bilangan awal kita adalah abcdefg, maka ciri bilangan habis dibagi 13 adalah (abcdef) – 9g. Jika hasilnya habis dibagi 13, maka bilangan semula juga habis dibagi 13.

Contoh: Apakah 3419 habis dibagi 13 ? Kita pisahkan 341 – 9(9) = 341 – 81 = 260.
Karena 260 habis dibagi 13, maka 3419 habis dibagi 13.

Kita coba angka yangg lebih besar. Misal Apakah 12818 habis dibagi 13?
1281 – 9(8) = 1281 – 72 = 1209
120 – 9(9) = 120 – 81 = 39.
39 habis dibagi 13, maka 12818 habis dibagi 13.


BILANGAN HABIS DI BAGI 15
Angka satuannya adalah 0 atau 5. Jumlah angkanya habis dibagi 3.
Contoh: apakah 8190 habis dibagi 15? Angka satuan=0, Jumlah angkanya = 8+1+9+0=18 (habis dibagi 3), maka 8190 habis dibagi 15.


BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 17
Ciri bilangan habis dibagi 17 adalah jika bilangan tersebut dipisahkan antara satuannya dan sisa angkanya kemudian jika sisa angkanya dikurangi dengan 5 kali satuannya dan hasilnya habis dibagi 17. Maka bilangan semula habis dibagi 17.

contohnya: apakah 153 habis dibagi 17?
Langkah pertama yaitu memisahkan bilangan tersebut dengan satuannya. 153 menjadi 15 dan 3. Kemudian kita lakukan langkah pada syarat tersebut.
15 – 3(5) = 0.
Karena 0 habis dibagi 17, maka 153 juga habis dibagi 17.

Contoh lain yang lebih panjang yaitu apakah 5338 habis dibagi 17?
Kita lakukan langkah-langkah yang telah diberikan sebelumnya.
533 – 8(5) = 493
49 – 3(5) = 34
Karena 34 habis dibagi 17, maka 5338 habis dibagi 17.



CIRI BILANGAN HABIS DIBAGI 19
Ciri bilangan habis dibagi 19 yaitu jika satuannya dikalikan dua dan ditambahkan pada angka sisa (angka semula yang dibuang satuannya) dan hasilnya habis dibagi 19 maka bilangan itu habis dibagi 19.

Contoh: Apakah 209 habis dibagi 19?
Secara perhitungan biasa, 209 habis dibagi 19. Karena 19 x 11 adalah 209. Sekarang bagaimana jika kita menggunakan ciri bilangan habis dibagi 19 menggunakan cara yang telah disebutkan di atas. Sekarang kita perhatikan angka 209. Angka tersebut satuannya kita pisah.
Diperoleh angka-angka baru yaitu 20 dan 9.
Kemudian langkah selanjutnya yaitu angka satuan kita kalikan dua dan kita jumlahkan dengan angka yang lain yang telah dipisah tadi. Diperoleh, 20 + 9(2) = 28. Dan karena 38 habis dibagi 19, maka bilangan asal tadi juga habis dibagi 19. Sehingga, 209 habis dibagi 19.

Sekarang kita lanjutkan untuk contoh dengan angka yang lebih besar.
Apakah 9937 habis dibagi 19?
Kita lakukan langkah-langkah yang telah diberikan tadi. 933 + 7(2) = 1007. Tentunya sekarang kita dapatkan angka yang lebih kecil. Untuk mengecheck apakah 1007 habis dibagi 19, maka kita lakukan langkah yang sama. Dengan cara yang sama. 100 + 7(2) = 144. Kita lanjutkan dengan mengecheck apakah 114 habis dibagi 19. Kita peroleh, 11 + 4(2) = 19.
Dan karena 19 habis dibagi 19, maka 114 habis dibagi 19. Dan diperoleh 1007 habis dibagi 19. Dan akhirnya 9937 juga habis dibagi 19.

Friday, May 18, 2012

BENTUK TAK TENTU

Berapakah hasil dari enam dibagi dengan 2???
ekuivalen dengan menanyakan :
Berapakah bilangan jika dikalikan dengan dua hasilnya enam???.
Dan jawabannya adalah "tiga".
6 / 2 = 3         <=>      3 x 2 = 6

Mengapa 0/0 disebut BENTUK TAK TENTU?
Perhatikan hasil-hasil pembagian berikut ini :
  1.  0/5 = 0            0/13 = 0            0/37 = 0           dan sebagainya. Kesimpulan : Nol dibagi berapapun hasilnya nol.
  2. 7/0 = ~           15/0 = ~           42/0 = ~           dan sebagainya. Kesimpulan : Berapapun dibagi nol hasilnya tak terhingga.
  3. 8/8 = 1           49/49 = 1          62/62 = 1           dan sebagainya. Kesimpulan : Setiap bilangan dibagi dengan dirinya sendiri hasilnya satu.
  •  0/0 = 0       (Nol dibagi berapapun sama dengan nol) adalah BENAR sesuai dengan kesimpulan pertama.
  • 0/0 = ~      (Berapapun dibagi nol sama dengan tak terhingga)  juga BENAR sesuai dengan kesimpulan kedua.
  • 0/0 = 1       (Nol dibagi dengan dirinya sendiri sama dengan satu) juga TIDAK SALAH sesuai dengan kesimpulan ketiga.

Jadi,, nol dibagi dengan nol hasilnya boleh nol, boleh tak terhingga, boleh juga satu.Bahkan yang lebih unik lagi 0/0 = 5 juga tidak boleh disalahkan, karena faktanya 5 x 0 = 0 (invers dari pembagian adalah perkalian).

Artinya, 0/0 = bisa berapapun TERSERAH KITA! Itulah sebabnya, dalam pelajaran Limit Fungsi dikatakan bahwa 0/0 adalah BENTUK TAK TENTU yang harus dipastikan nilainya.

Thursday, May 17, 2012

Matematika terapan


Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.)
Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Dasar dan filsafat


Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an. Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formalyang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu).
Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursiteori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.
 p \Rightarrow q \,Venn A intersect B.svgCommutative diagram for morphism.svg
Logika matematikaTeori himpunanTeori kategori
Sumber: Wikipedia

Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup,gelangganglapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektormemperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.

Perubahan


Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya.Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks.
Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian padaruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.
Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamikateori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

Ruang


Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclidTrigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalamrelativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitikgeometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.
Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

Sumber: Wikipedia

Besaran


Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan:konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalambilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.

Sumber: Wikipedia